Question

10．設正實數x，y滿足x+y=1，則x²+y²+$\sqrt{xy}$的取值范圍為$[1，\frac{9}{8}]$．

Answer 1

分析 正實數x，y滿足x+y=1，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$．則x²+y²+$\sqrt{xy}$=1-2xy+$\sqrt{xy}$，-2xy+$\sqrt{xy}$=-2$（\sqrt{xy}-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，即可得出．

解答 解：∵正實數x，y滿足x+y=1，
∴1$≥2\sqrt{xy}$，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$．
則x²+y²+$\sqrt{xy}$=1-2xy+$\sqrt{xy}$，∵-2xy+$\sqrt{xy}$=-2$（\sqrt{xy}-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$∈$[0，\frac{1}{8}]$．
故x²+y²+$\sqrt{xy}$的取值范圍為$[1，\frac{9}{8}]$．
故答案為：$[1，\frac{9}{8}]$．

點評 本題考查了基本不等式的性質、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．