Question

3．設函數f（x）=|2x-1|
（1）解關于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若實數a，b滿足a+b=2，求f（a²）+f（b²）的最小值．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對值符號，轉化求解不等式即可．
（2）利用已知條件化簡所求的表達式，通過柯西不等式求解即可．

解答 解：（1）|4x-1|≤|2x+1|?16x²-8x+1≤4x²+4x+1?12x²-12x≤0，
解得x∈[0，1]，故原不等式的解集為[0，1]．
（2）f（a²）+f（b²）=|2a²-1|+|2b²-1|≥|2（a²+b²）-2|，
由柯西不等式：2（a²+b²）=（1²+1²）（a²+b²）≥（a+b）²=4．
從而2（a²+b²）-2≥2，即f（a²）+f（b²）≥2，取等條件為a=b=1．
故f（a²）+f（b²）的最小值為2．

點評 本題考查不等式的解法，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．