Question

5．等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，a₂為整數，且a₃∈[3，5]．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）判斷數列的第二項，然后求解通項公式即可．
（2）利用裂項法化簡求解即可．

解答 解：（1）由a₁=2，a₂為整數知，且a₃∈[3，5]．
a₃=4，{a_n}的通項公式為a_n=n+1．
（2）${b_n}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
于是${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）=\frac{5}{12}-\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

點評 本題考查數列的判斷以及數列求和，裂項法的應用，考查計算能力．