Question

20．如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中點M，連接MO，PM，由正四棱錐的性質知∠PMO為所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角，則tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，設AB=a，則AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，MO=$\frac{1}{2}$a，tan∠PMO=$\sqrt{3}$，∠PMO=60°； 
（2）依題意連結AE，OE，則OE∥PD，故∠OEA為異面直線PD與AE所成的角，由正四棱錐的性質易證OA⊥平面POB，故△AOE為直角三角形，OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，所以tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN為正三角形，易證MG⊥平面PBC，取MA的中點F，連EF，則四邊形MFEG為平行四邊形，從而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分點，靠近A點的位置．

解答 解：（1）取AD中點M，連接MO，PM，
依條件可知AD⊥MO，AD⊥PO，則∠PMO為所求二面角P-AD-O的平面角．
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設AB=a，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PO=AO•tan∠POA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
tan∠PMO=$\frac{PO}{MO}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PMO=60°．        

（2）連接AE，OE，
∵OE∥PD，
∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．   
∵AO⊥BD，AO⊥PO，
∴AO⊥平面PBD．
又OE?平面PBD，
∴AO⊥OE．
∵OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{O}^{2}+D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
∴tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$；
（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，
∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC．       
又PM=PN，∠PMN=60°，
∴△PMN為正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，
∴MG⊥平面PBC．  
∴F是AD的4等分點，靠近A點的位置．

點評 本題考查二面角及平面角的求法，異面直線所成角的正切值的求法，難度較大，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．