Question

11．已知m，n都是實數(shù)，m≠0，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（Ⅰ）若f（x）＞2，求實數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若|m+n|+|m-n|≥|m|f（x）對滿足條件的所有m，n都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和，而數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點的坐標，從而得出結(jié)論．
（2）轉(zhuǎn)化不等式為2|x-1|+|x-2|≤$\frac{|m+n|+|m-n|}{|m|}$，利用函數(shù)恒成立以及絕對值的幾何意義，求出x的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）＞2，即|x-1|+|x-2|＞2．
而|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和，
而數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點的坐標為$\frac{1}{2}$和$\frac{5}{2}$，
故不等式|x-1|+|x-2|＞2的解集為﹛x|x＜$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{5}{2}$﹜，
（2）由題知，|x-1|+|x-2|≤$\frac{|m+n|+|m-n|}{|m|}$恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于$\frac{|m+n|+|m-n|}{|m|}$的最小值．
∵|m+n|+|m-n|≥|m+n+m-m|=2|m|，當且僅當 （m+m）（m-m）≥0 時取等號，
∴$\frac{|m+n|+|m-n|}{|m|}$的最小值等于2，∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和，
又由于數(shù)軸上的$\frac{1}{2}$、$\frac{5}{2}$對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和等于2，
故不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立以及絕對值的意義，絕對值不等式的解法，判斷數(shù)軸上滿足|x-1|+|x-2|=2的點的坐標為$\frac{1}{2}$和$\frac{5}{2}$，是解題的關(guān)鍵．考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．