Question

20．已知函數f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（I）求函數f（x）的最小正周期；
（II）求函數f（x）在區間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上的值域．
（Ⅲ）描述如何由y=sinx的圖象變換得到函數f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （I）運用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡可得函數解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，利用三角函數周期公式即可得解．
（II）由已知利用x的取值范圍，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數的圖象和性質可得范圍sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可得解函數f（x）值域．
（Ⅲ）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得結論．

解答 解：（I）∵f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
（II）∵x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[1，3]，即函數f（x）在區間[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上的值域為[1，3]．
（Ⅲ）把函數y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得函數y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再把所得圖象上的各點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍，即可得到函數y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上的各點的縱坐標變為原來的2倍，即可得到函數y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
再把所得函數的圖象向上平移2個單位，即可得到y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的圖象．

點評 本題考查三角函數的二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數的周期性和值域，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于基礎題．