Question

4．已知函數f（x）=2m²x²+4mx-3lnx，其中m∈R
（1）若x=1是f（x）的極值點，求m的值；
（2）求函數f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（1）=0，求出m的值即可；
（2）求出函數的導數，通過討論m的范圍，得到函數的單調區間，從而判斷函數的極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=4m²x+4m-$\frac{3}{x}$，
若x=1是f（x）的極值點，
則f′（1）=4m²+4m-3=0，
解得：m=-$\frac{3}{2}$或m=$\frac{1}{2}$；
（2）函數f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（2mx+3）（2mx-1）}{x}$，
當m＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2m}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2m}$）遞減，在（$\frac{1}{2m}$，+∞）遞增，
f（x）的極小值為f（$\frac{1}{2m}$）=$\frac{5}{2}$+3ln（2m）；無極大值．
當m＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{3}{2m}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-$\frac{3}{2m}$，
故f（x）在（0，-$\frac{3}{2m}$）遞減，在（-$\frac{3}{2m}$，+∞）遞增，
故f（x）的極小值為f（-$\frac{3}{2m}$）=-$\frac{3}{2}$-3ln（-$\frac{3}{2m}$）；無極大值．
當m=0時，f′（x）＜0，減區間為（0，+∞），無增區間和極值．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．