Question

15．若直角坐標平面內兩個不同點P、Q滿足條件：①P、Q都在y=f（x）上；②P、Q關于原點對稱．則稱點對（P，Q）是函數y=f（x）的一對“友好點對”（點對（P，Q）與（Q，P）看作同一對“友好點對”）．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$，則此函數的友好點對有（　　）

• A． 0對
• B． 1對
• C． 2對
• D． 3對

Answer 1

分析 根據題意可知只須作出函數y=$（\frac{1}{2}）^{x}$（x＞0）的圖象關于原點對稱的圖象，確定它與函數y=-x²-4x（x≤0）交點個數即可．

解答 解：由題意得：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$，“友好點對”的對數，
等于函數（x＞0）的圖象關于原點對稱的圖象，與函數y=-x²-4x（x≤0）交點個數
在同一坐標系中做出函數y=$（\frac{1}{2}）^{x}$（x＞0）的圖象關于原點對稱的圖象，與函數y=-x²-4x（x≤0）的圖象如下圖所示：

由圖象可知，兩個圖象只有一個交點．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，分段函數，新定義，其中將“友好點對”的對數轉化為對應圖象交點個數是解答的關鍵．