Question

12．已知a_n=2ⁿ+3ⁿ，b_n=a_n+1+ka_n，
（1）若{b_n}是等比數(shù)列，求k的值；
（2）若C_n=log₃（a_n-2ⁿ），且數(shù)列{C_n}的前和為S_n，證明：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$＜2；
（$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{S_i}}$=$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{S_n}$）
（3）若k=-2，集合A={n∈N^*|$\frac{2n-1}{{b}_{n}}$＞$\frac{1}{9}$}，求集合A中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得b₂²=b₁b₃，解k的方程可得k的值；
（2）求得C_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，即可得證；
（3）求得b_n=3ⁿ，令d_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，作差，判斷單調(diào)性，可得集合A中的元素，求和可得．

解答 解：（1）由a₁=5，a₂=13，a₃=35，a₄=97，
又{b_n}是等比數(shù)列，可得b₂²=b₁b₃，
則（35+13k）²=（13+5k）（97+35k），
解得k=-2或k=-3，經(jīng)檢驗(yàn)均符合；
（2）證明：由題可得C_n=log₃（a_n-2ⁿ）=n，
則S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2；
（3）由題可得b_n=3ⁿ，
令d_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
則d_n+1-d_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=$\frac{4-4n}{{3}^{n+1}}$，
當(dāng)n=1時，d₁=d₂=$\frac{1}{3}$，當(dāng)n≥2時，d_n+1＜d_n，
又d₃=$\frac{5}{27}$，d₄=$\frac{7}{81}$，
則A={1，2，3}，所以A中所有元素之和為6．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用，屬于中檔題．