Question

1．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b=acosC+csinA，則A=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得cosAsinC=sinCsinA，結合sinC≠0及兩角差的正弦函數公式可得$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）=0，結合范圍-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，利用正弦函數的圖象和性質即可得解A的值．

解答 解：∵b=acosC+csinA，
∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA，即：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，
∴cosAsinC=sinCsinA，
∵sinC≠0，
∴sinA-cosA=0，可得：$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）=0，可得：A-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
∵A∈（0，π），可得：-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴A-$\frac{π}{4}$=0，即A=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，兩角差的正弦函數公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．