Question

4．已知函數y=f（x）滿足條件f（2x）=3x²+1，求：
（1）函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）研究函數f（x）在[-3，6]上的單調性．

Answer 1

分析 （1）設$2x=t，則x=\frac{t}{2}$，結合f（2x）=3x²+1，可得：函數f（x）的解析式；
（2）根據函數奇偶性的定義，可判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求導，分析導函數的符號，可得：函數f（x）在[-3，6]上的單調性．

解答 解：（1）設$2x=t，則x=\frac{t}{2}$
因為f（2x）=3x²+1，所以$f（t）=3{（\frac{t}{2}）^2}+1=\frac{3}{4}{t^2}+1$，
所以$f（x）=\frac{3}{4}{x^2}+1$…5
（2）由函數f（x）的定義域R關于原點對稱，
又由$f（-x）=\frac{3}{4}{（-x）^2}+1=\frac{3}{4}{x^2}+1=f（x）$
所以函數f（x）為偶函數                       …10
（3）∵$f′（x）=\frac{3}{2}x$，
當x∈[-3，0]時，f′（x）≤0恒成立；
當x∈[0，6]時，f′（x）≥0恒成立；
故函數f（x）在[-3，0]為減函數，在[0，6]為增函數
（注：未說明理由的得2分）       …16

點評 本題考查的知識點是函數解析式的求法，利用導數研究函數的單調性，函數的奇偶性，難度中檔．