Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據a_n=S_n-S_n-1，求出數列{a_n}是以首項是2，公比是2的等比數列；根據等差數列的定義求出數列{b_n}的通項公式即可；
（2）分別求出數列{a_n}和數列{b_n}的前n項和，從而求出數列{c_n}的前n項和即可．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，而s₁=2a₁-2，解得：a₁=2，
故數列{a_n}是以首項是2，公比是2的等比數列，
故${a_n}={2^n}$，
數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
故b_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）數列{a_n}的前n項和是：s_n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
數列{b_n}的前n項和是：${{S}_{n}}^{′}$=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
故數列{c_n}的前n項和T_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查數列的前n項和，是一道中檔題．