Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，cos2x），$\overrightarrow{n}$=（sin2x，$\sqrt{3}$），函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，將函數y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，所得函數圖象對應的解析式記為g（x）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）在銳角△ABC中，a，b，c是角A、B、C所對的邊，且滿足a²+c²-b²=ac，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數間的恒等變換可求得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=2sinx；
（2）根據余弦定理和正弦函數的性質即可求出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（1，cos2x），$\overrightarrow{n}$=（sin2x，$\sqrt{3}$），
函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵將函數y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，所得函數圖象對應的解析式記為g（x）．
∴g（x）=2sinx，
（2）∵a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴A=$\frac{2π}{3}$-C，
∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5}{3}$π，
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$），
∴當2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，有最大值，最大值為2，
當2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$時，有最小值，最小值為-2．
∴-2≤f（A）≤2．

點評 本題考查二倍角的余弦，考查三角函數間的恒等變換，突出考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及與余弦定理，屬于中檔題．