Question

3．給出下列命題，其中正確命題的序號是②③⑤
①存在實數α，使sinα•cosα=1；
②函數$y=sin（\frac{3}{2}π+x）$是偶函數；
③直線$x=\frac{π}{8}$是函數$y=sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一條對稱軸；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ；
⑤函數$y=2sin（\frac{π}{3}-x）-cos（\frac{π}{6}+x）（x∈R）$的最小值等于-1；
⑥函數$y=|{tan（2x+\frac{π}{3}）}|$的周期為π．

Answer 1

分析 根據二倍角公式可知-$\frac{1}{2}≤$sinαcosα≤$\frac{1}{2}$，故①錯誤；根據誘導公式，可知sin（$\frac{3}{2}π$+x）=-cosx，故②正確；x=$\frac{π}{8}$時，y=sin$\frac{3}{2}π$=-1，故③正確；α=390°，β=60°時，sinα＜sinβ，故④錯誤；利用誘導公式化簡，y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）=cos（$\frac{π}{6}$+x），故⑤正確；函數周期為$\frac{π}{2}$，故⑥錯誤．

解答 解：對于①：∵sinαcosα=$\frac{1}{2}×2sinαcosα=\frac{1}{2}sin2α$，∴$-\frac{1}{2}≤sinαcosα≤\frac{1}{2}$，故①錯誤；
對于②：∵y=sin（$\frac{3}{2}π$+x）=sin[$π+（\frac{π}{2}+x）$]=-sin（$\frac{π}{2}+x$）=-cosx，且-cos（-x）=-cosx，∴$y=sin（\frac{3}{2}π+x）$是偶函數，故②正確；
對于③：當x=$\frac{π}{8}$時，y=sin$\frac{3}{2}π$=-1，所以直線$x=\frac{π}{8}$是函數$y=sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一條對稱軸，故③正確；
對于④：舉反例，例如α=390°，β=60°時，sin390°=$\frac{1}{2}$，sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinα＜sinβ，故④錯誤；
對于⑤：∵y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}+x）$=2sin[$\frac{π}{2}-（x+\frac{π}{6}）$]-cos（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{6}$）=cos（x+$\frac{π}{6}$），∴y_min=-1，故⑤正確；
對于⑥：由圖象可知，y=|tan（2x+$\frac{π}{3}$）|與y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的周期相同，T=$\frac{π}{2}$，故⑥錯誤．
故答案為：②③⑤

點評 本題通過命題的真假判斷考查了誘導公式，三角函數的圖象和性質以及三角恒等變換，屬于中檔題．