Question

10．已知數列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*
（1）求數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n
（2）設b_n=a_na_n+1，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*，則$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2n-1}+2}{\frac{1}{2n-1}}$=4n-1，數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}是以3為首項，以4為公差的等差數列，根據等差數列前n項和公式，即可求得S_n；
（2）由b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂項法”，即可求得{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由a_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*，
∴$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2n-1}+2}{\frac{1}{2n-1}}$=4n-1，
∴數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}是以3為首項，以4為公差的等差數列，
∴數列{$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n=$\frac{（3+4n-1）n}{2}$=2n²+n，
（2）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴{b_n}的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等差數列前n項和公式，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．