Question

5．在等差數列{a_n}中，已知a₄=9，a₆+a₇=28．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）利用等差數列的求和公式即可得出．
（3）利用“裂項求和方法”、數列的單調性即可得出．

解答 （1）解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₄=9，a₆+a₇=28．
∴a₁+3d=9，2a₁+11d=28，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）解：S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（3）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．