Question

3．已知直線l：mx-（m²+1）y=3（m≥0）．
（1）求直線l斜率的取值范圍；
（2）若直線l被圓C：x²+y²-2y-8=0截得的弦長為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線的斜率，分類討論，結合基本不等式，求直線l斜率的取值范圍；
（2）先求出圓心到直線的距離得弦心距，求出圓的半徑，利用勾股定理求出m的值，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）直線l：mx-（m²+1）y=3的斜率為k=$\frac{m}{{m}^{2}+1}$
m=0，k=0；
m＞0，0＜$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$≤$\frac{1}{2}$
∴0≤k≤$\frac{1}{2}$；
（2）圓C：x²+y²-2y-8=0可變為x²+（y-1）²=9，故圓心坐標為（0，1），半徑為3．
因為直線l被圓C：x²+y²-2y-8=0截得的弦長為4，
所以圓心到直線l：mx-（m²+1）y=3的距離是$\sqrt{5}$
所以$\frac{|{m}^{2}+1+3|}{\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}+1）^{2}}}=\sqrt{5}$，
所以m=±1，
所以直線l的方程為±x-2y=3．

點評 本題考查直線與圓相交的性質，解題的關鍵是了解直線與圓相交的性質，半徑，弦心距，弦長的一半構成一個直角三角形，掌握點到直線的公式，會用它求點直線的距離．