Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，拋物線y²=4x與橢圓C有相同的焦點，點P為拋物線與橢圓C在第一象限的交點，且|PF₁|=$\frac{7}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）探照燈的軸截面是一拋物線，如圖所示表示平行于x軸的光線于拋物線上的點P，Q的反射情況，光線PQ過焦點F，如圖所示，若拋物線y²=4x，設點P的縱坐標為a（a＞0），問a取何值時，從入射點P到反射點Q的光線的路程PQ最短．

Answer 1

分析 （I）求得拋物線的焦點，可得c=1，設P為（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），由橢圓的焦半徑公式可得|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，由橢圓和拋物線的定義可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，解方程可得a=2，由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設PQ方程為x=my+1，代入拋物線方程，由韋達定理求得y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，由弦長公式可知丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4（1+m²），即當m=0時，即a=2時，丨PQ丨取得最小值，最小值為4．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線y²=4x焦點坐標為（1，0），即c=1，
設P為（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），
由橢圓的焦半徑公式可得，|PF₁|=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{7}{3}$，
由橢圓和拋物線的定義可得，2a=$\frac{7}{3}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，
解得：a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由F（1，0），設直線PQ方程為x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+16}$，
=4（1+m²），
∴當m=0時，即a=2時，丨PQ丨取得最小值，最小值為4．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查焦半徑公式和拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．