Question

1．某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如表：

消費次第	第1次	第2次	第3次	第4次	≥5次
收費比例	1	0.95	0.90	0.85	0.80

該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據如表：

消費次第	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
頻數	60	20	10	5	5

假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：
（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；
（2）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；
（3）設該公司從至少消費兩次，求這的顧客消費次數用分層抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發放紀念品，求抽出2人中恰有1人消費兩次的概率．

Answer 1

分析 （1）至少消費兩次的會員有40人，根據概率公式p=$\frac{40}{100}$=0.4．
（2）分別求出兩次消費為公司獲得的利潤，然后求平均值即可；
（3）根據古典概型的概率求法，利用枚舉法求解．

解答 解：（1）100位會員中，至少消費兩次的會員有40人，所以估計一位會員至少消費兩次的概率為p=$\frac{40}{100}$=0.4．
（2）該會員第1次消費時，公司獲得利潤為200-150=50（元），
第2 次消費時，公司獲得利潤為200×0.95-150=40（元），
所以，公司這兩次服務的平均利潤為$\frac{50+40}{2}=45$（元）．
（3）至少消費兩次的會員中，消費次數分別為1，2，3，4，5的比例為20：10：5：5=4：2：1：1，所以
抽出的8人中，消費2次的有4人，設為A₁，A₂，A₃，A₄，消費3次的有2人，設為B₁，B₂，消費4次和5次的各有1人，分別設為C，D，從中取2人，取到A₁的有：A₁A₂，A₁A₃，A₁A₄，A₁B₁，A₁B₂，A₁C，A₁D 共7種；
去掉A₁后，取到A₂的有：A₂A₃，A₂A₄，A₂B₁，A₂B₂，A₂C，A₂D 共6種；
去掉A₁，A₂，A₃，A₄，B₁，B₂，后，取到C的有：CD 共1種，總的取法有n=7+6+5+4+3+2+1=28種，
其中恰有1人消費兩次的取法共有：m=4+4+4+4=16種，
所以，抽出2人中恰有1人費兩次的概率為p=$\frac{m}{n}=\frac{16}{28}=\frac{4}{7}$．

點評 本題主要考查古典概率的概率公式，屬于中等題．