Question

17．已知S_n=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，若S_m=10，則m=（　�。�

• A． 11
• B． 99
• C． 120
• D． 121

Answer 1

分析 根據$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，得S_n=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=（$\sqrt{2}-1）$+（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴S_n=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
=（$\sqrt{2}-1）$+（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）
=$\sqrt{n+1}$-1，
∴s_m=$\sqrt{m+1}-1$=10，
解得：m=120，
故選C．

點評 本題主要考查裂項法求和的方法，屬于中等題．