Question

7．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：AA′=3：4，則S_{△A′B′C′}：S_△ABC=9：49．

Answer 1

分析 通過平面α∥平面ABC，證明A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，轉化為△ABC與△A′B′C′相似，利用相似于三角形的面積之比等于邊長的平方之比，即可得答案．

解答 解：由題意：∵平面α∥平面ABC，
∴A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，
∴三角PA′B′相似于三角形PAB，三角形PB′C′相似于三角形PBC，三角形PA′C′相似于三角形PAC，
∴PA′：PA=PB′：PB=A′B′：AB，PB′：PB=PC′：PC=B′C′：BC，
PC′：PC=PA′：PA=A′C′：AC，
∴A′B′：AB=B′C′：BC=A′C′：AC，
故得：S_{△A′B′C′}∽S_△ABC．
∴S_{△A′B′C′}：S_△ABC=A′B′²：AB²．
又∵PA′：A′A=3：4，
∴PA′：PA=3：7，
A′B′：AB=3：7，
所以得：S_{△A′B′C′}：S_△ABC=9：49．
故答案為：9：49．

點評 本題通過面面平行證明線面平行到線線平面的轉化，利用相似于三角形的面積之比等于邊長的平方之比來求解．屬于中檔題．