Question

16．已知函數f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）畫出函數f（x）在區間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（2）“五點畫法”列表，描點，連線．

解答 解：函數f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
化簡得：$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，
函數的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}$=π，
由正弦函數圖象及性質可知：$2x-\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是單調增區間，
即$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}⇒kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
故函數f（x）的增區間為：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$．
（2）列表得：

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
$2x-\frac{π}{6}$	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$
y	-1	0	1	0	-1

描圖：

點評 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，會利用五點畫法描圖，屬于中檔題．