Question

8．已知函數f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=f（$\frac{n}{2017}$），則S₂₀₁₇=（　　）

• A． 1008
• B． 1010
• C． $\frac{2019}{2}$
• D． 2019

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，則f（1-x）=$\frac{1-x+1}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$，可知f（x）+f（1-x）=$\frac{x+1}{2x-1}$+$\frac{x-2}{2x-1}$=1，采用倒敘相加法求得求得前2016項和，由a₂₀₁₇=f（1）=2，則S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇，即可求得的S₂₀₁₇值．

解答 解：f（x）=$\frac{x+1}{2x-1}$，則f（1-x）=$\frac{1-x+1}{2（1-x）-1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{x+1}{2x-1}$+$\frac{x-2}{2x-1}$=1，
∵a_n=f（$\frac{n}{2017}$），
a₂₀₁₇=f（1）=2
∴a₁+a₂₀₁₆=f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=1，
∴a₂+a₂₀₁₅=1，
…
a₂₀₁₆+a₁=1
S₂₀₁₆=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆，
S₂₀₁₆=a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+…+a₁，
∴2S₂₀₁₆=（a₁+a₂₀₁₆）+（a₂+a₂₀₁₅）+…+（a₂₀₁₆+a₁），
∴S₂₀₁₆=1008，
S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=1008+f（1）=1010，
故選B．

點評 本題考查數列與函數的綜合應用，考查倒敘相加法求數列的前n項和，考查計算能力，對于此類題應該構造f（x）+f（1-x）=常數，再利用倒敘相加法即可求得，屬于中檔題．