Question

15．下列函數中，最小值為4的是（　　）

• A． y=$\frac{x}{2}$+$\frac{8}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$

Answer 1

分析 根據基本不等式的口訣：一正二定三相等，對各個選項逐一化簡判斷即可．

解答 解：A、當x＞0時，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{8}{x}}$=4，當且僅當$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$時取等號，
當x＜0時，$\frac{x}{2}+\frac{8}{x}$≤-4，當且僅當$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$時取等號，A錯誤；
B、當0＜x＜π時，sinx＞0，y=sinx+$\frac{4}{sinx}$≥2$\sqrt{sinx•\frac{4}{sinx}}$=4，
當且僅當sinx=$\frac{4}{sinx}$時取等號，此時sinx=2，由sinx≤1知，B不正確；
C、y=e^x+4e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•4{e}^{-x}}$=4，
當且僅當e^x=4e^-x，即e^x=2時取最小值4，C正確；
D、y=$\sqrt{{x}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}$=$2\sqrt{2}$，
當且僅當$\sqrt{{x}^{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$時取等號，函數的最小值是$2\sqrt{2}$，D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式在求最值中的應用，牢記“一正二定三相等”是解題的關鍵，考查了化簡、變形能力．