Question

20．若函數f（x）滿足：在定義域D內存在實數x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數f（x）為“1的飽和函數”．給出下列四個函數：①f（x）=2^x；②f（x）=$\frac{1}{x}$；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx．
其中是“1的飽和函數”的所有函數的序號為①④．

Answer 1

分析 利用“1的飽和函數”的定義構造方程，判斷方程是否有解，可得結論．

解答 解：①f（x）=2^x，D=R，則存在實數x₀，使得2^x₀+1=2^x₀+2，解得x₀=1，
因為此方程有實數解，
所以函數f（x）=2^x是“1的飽和函數”．
②f（x）=$\frac{1}{x}$，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=$\frac{1}{x}$是“1的飽和函數”，
則存在非零實數x₀，使得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，
即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數解，
所以函數f（x）=$\frac{1}{x}$不是“1的飽和函數”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．
即f（x）=lg（x²+2）不是“1的飽和函數”．
④f（x）=cosπx，存在x=$\frac{1}{3}$，使得f（x+1）=cos$\frac{4}{3}$π=-$\frac{1}{2}$=f（x）+f（1）=cos$\frac{1}{3}$π+cosπ=$\frac{1}{2}-1$，
即f（x）=cosπx是“1的飽和函數”．
故答案：①④

點評 本題考查“1的飽和函數”的判斷，是基礎題，解題時要注意函數的性質的合理運用．