Question

10．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，點M是線段AB上的一點，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．
（1）證明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求直線CM與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）只要證明PM⊥面ABCD利用面面垂直的判定定理證明即可；
（2）過點M作MH⊥CD，連結HP，得到CD⊥平面PMH進一步得到平面PMH⊥平面PCD；過點M作MN⊥PH，得到∠MCN為直線CM與平面PCD所成角，通過解三角形得到所求．

解答 （1）證明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，
又因為PM⊥CD，且AB∩CD，所以PM⊥面ABCD，…（4分）
且PM?面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）
（2）解：過點M作MH⊥CD，連結HP，
因為PM⊥CD，且PM∩MH=M，
所以CD⊥平面PMH，又由CD?平面PCD，
所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，過點M作MN⊥PH，
即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN為直線CM與平面PCD所成角． …（9分）
在四棱錐P-ABCD中，設AB=2t，則$CM=\frac{{\sqrt{17}}}{2}t$，$PM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t$，$MH=\frac{{7\sqrt{5}}}{10}t$，∴$PH=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}t$，$MN=\frac{{7\sqrt{3}}}{16}t$，
從而$sin∠MCN=\frac{MN}{CM}=\frac{{7\sqrt{51}}}{136}$，
即直線CM與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{{7\sqrt{51}}}{136}$． …（14分）

點評 本題考查了面面垂直的判斷以及求線面角的方法；關鍵是轉化為線線問題解答；屬于中檔題．