Question

11．已知函數f（x）的導函數f′（x），當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 本題依據已知導數的特稱，構造新函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，根據g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$單調性進行判定，

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）sin2x＜f（x）（1+cos2x）成立，
⇒f′（x）2sinx•cosx＜f（x）2sin²x 成立⇒f′（x）sinx-f（x）cosx＜0成立．
∴令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}＜0$⇒g′（x）＜0在（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上是單調遞減的，故（$\frac{π}{4}$）$＞g（\frac{π}{3}）$⇒$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）．
故選B．

點評 本題考查了構造抽象函數，利用抽象函數的導數，處理函數不等式問題，屬于中檔題．