Question

17．已知△ABC為邊長為1的正三角形，O、D為△ABC所在平面內的點，$\overrightarrow{OC}$-3$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow 0$，則$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DA}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{18}$
• B． -$\frac{1}{6}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據平面向量的線性運算與數量積運算性質，得出$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{DB}$，D為BC的三等分點，由此求出$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DA}$的值．

解答 解：△ABC是邊長為1的正三角形，O、D為△ABC所在平面內的點，
$\overrightarrow{OC}$-3$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow 0$，
∴（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$）-2（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CD}$-2$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{DB}$；
∴D為靠近B點的三等分點，如圖所示；
∴$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DB}$•（$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BA}$）
=${\overrightarrow{DB}}^{2}$+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{BA}$
=${（\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{1}{3}$×1×cos60°
=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{6}$
=-$\frac{1}{18}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的線性運算與數量積運算問題，進行計算即可．