Question

6．中石化集團通過與安哥拉國家石油公司合作，獲得了安哥拉深海油田區塊的開采權，集團在某些區塊隨機初步勘探了部分口井，取得了地質資料．進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探．由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井．以節約勘探費用．勘探初期數據資料見如表：

井號I	1	2	3	4	5	6
坐標（x，y）（km）	（2，30）	（4，30）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆井深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（I）1～6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a，并估計y的預報值；
（II）現準備勘探新井7（1，25），若通過1、3、5、7號井計算出的$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{a}$的值與（I）中b，a的值差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打開，請判斷可否使用舊井？
（$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1²=94，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1y_2i-1=945）
（III）設出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探并稱為優質井，那么在原有的出油量不低于50L的井中任意勘察3口井，求恰有2口是優質井的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=50，求出回歸直線方程，由此能求出當x=1時，y的預報值．
（Ⅱ）先分別求出$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，可得回歸系數，由此能求出使用位置接近的已有舊井．
（Ⅲ）由題意知3，5，6這3口井是優質井，2，4為非優質井，任意勘察3口井，有${C}_{5}^{3}$=10種情況，恰有2口是優質井，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}$=6種情況，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=50，∴$\stackrel{∧}{a}$=50-6.5×5=17.5，
∴回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=6.5x+17.5，
當x=1時，$\stackrel{∧}{y}$=6.5+17.5=24，即$\stackrel{∧}{y}$的預報值為24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1²=94，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1y_2i-1=945，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
$\stackrel{∧}{a}$=46.25-6.83×4=18.93，
b=6.5，a=17.5，
∴$\frac{\stackrel{∧}{b}-b}{b}$≈5%，$\frac{\stackrel{∧}{a}-a}{a}$≈8%，均不超過10%，
∴使用位置接近的已有舊井6（1，24）．
（Ⅲ）由題意知3，5，6這3口井是優質井，2，4為非優質井，任意勘察3口井，有${C}_{5}^{3}$=10種情況，恰有2口是優質井，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}$=6種情況，故概率為$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查回歸直線方程的應用，考查概率的計算，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．