Question

1．已知點E是△ABC所在平面內一點，且$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABC}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，及三角形面積的性質，由△ABE與△ABC為同底不等高的三角形，故高之比即為兩個三角面積之間，連接CE并延長后，我們易得到CE與CD長度的關系，進行得到△ABE的面積與△ABC面積之比．

解答 解：連接CE并延長，交AB于D，
則$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
即$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{ED}$，
故$\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{ED}$，
則△ABE的高與△ABC高之比為$\frac{1}{3}$．又兩者底邊都是AB，
則△ABE的面積與△ABC面積之比為$\frac{1}{3}$．
故選B．

點評 三角形面積性質：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比．