Question

12．集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$中的元素個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 無窮多個

Answer 1

分析 根據題意，由虛數單位i的性質，分別令n=4k、4k+1、4k+2、4k+3，求出Z的值，可得集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$={2，-2，-1+i，1-i}；分析可得答案．

解答 解：根據題意，
當n=4k時，i^4k=1，Z=1+$\frac{1}{1}$=2，
當n=4k+1時，i^4k+1=i，Z=i+$\frac{1}{i}$=-1+i，
當n=4k+2時，i^4k+2=-1，Z=-1+$\frac{1}{-1}$=-2，
當n=4k+3時，i^4k+1=-i，Z=（-i）+$\frac{1}{（-i）}$=1-i，
即集合$\left\{{z\left|{z={i^n}+\frac{1}{i^n}}\right.}\right.，n∈{N^*}\left.{\;}\right\}$={2，-2，-1+i，1-i}；有4個元素；
故選：C．

點評 本題考查復數的計算以及虛數單位i的性質，涉及集合的表示方法，關鍵是依據虛數單位的意義，計算出Z的值．