Question

4．若函數f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調遞增，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． $[{\frac{1}{7}\;\;，\;\;1}]$
• B． $[{-1\;\;，\;\;\frac{1}{7}}]$
• C． $（-∞\;\;，\;\;-\frac{1}{7}]∪[1\;\;，\;\;+∞）$
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 化簡函數的解析式，求出函數的導數，通過函數的單調性，轉化為不等式恒成立，構造函數列出不等式組求解即可．

解答 解：函數f（x）=$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x
=$\frac{1}{2}$cos2x+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x
∴f'（x）=-sin2x+3a（cosx+sinx）+4a-1=-（cosx+sinx）²+3a（cosx+sinx）+4a≥0，對$x∈[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;0}]$恒成立．
∵$cosx+sinx=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$，∴當$x∈[{-\frac{π}{2}\;\;，\;\;0}]$時，-1≤cos+sinx≤1．
令g（t）=-t²+3at+4a（-1≤t≤1），欲使g（t）≥0恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}g（{-1}）≥0\\ g（1）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-{（{-1}）^2}+3a×（{-1}）+4a≥0\\-1+3a+4a≥0\end{array}\right.⇒a≥1$．
故選：D．

點評 本題考查函數的導數判斷函數的單調性的應用，函數恒成立條件的應用，考查轉化思想以及計算能力．