Question

14．若不等式x²+2+|x³-2x|≥ax對任意的x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍（　　）

• A． a≤4
• B． a≤5
• C． a≤2$\sqrt{2}$
• D． a≤1

Answer 1

分析 分離參數a，把不等式變形為a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，只需a小于等于a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|的最小值即可

解答 解：由x²+2+|x³-2x²|≥ax在x∈[1，2]內恒成立，
∴a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，
而x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\sqrt{2}$∈[1，2]時取等號，
且|x²-2x|≥0，等號當且僅當x=2∈[1，2]時成立；
∴x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x||的最小值為2$\sqrt{2}$，等號當且僅當x=$\sqrt{2}$∈[1，2]時成立．
故實數a的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$]．
故選：C

點評 本題主要考查了函數恒成立問題以及絕對值不等式的解法、基本不等式在最值問題中的應用，本題中要注意等號須同時成立．