Question

4．已知正實數a，b 滿足a+3b=7，則$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ 的最小值為$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$．

Answer 1

分析 構造基本不等式的性質即可求解．利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：正實數a，b，即a＞0，b＞0；
∵a+3b=7，
∴a+1+3（b+2）=14
則$\frac{a+1}{14}+\frac{3（b+2）}{14}=1$，
那么：（$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ ）（$\frac{a+1}{14}+\frac{3（b+2）}{14}$）=$\frac{1}{14}+\frac{12}{14}+（\frac{4（a+1）}{14（2+b）}+\frac{3（b+2）}{14（a+1）}）$
≥$\frac{13}{14}+2×\frac{\sqrt{12}}{14}$=$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$
當且僅當2（a+1）=$\sqrt{3}$（b+2）時，即取等號．
∴$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ 的最小值為：$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$，
故答案為：$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$．

點評 本題考查了構造不等式的思想，利用“乘1法”與基本不等式的性質，屬于中檔題．