Question

16．函數f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域為（-∞，5]．

Answer 1

分析 利用換元法轉化為二次函數求值域．

解答 解：函數f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x，
令：t=$\sqrt{x+1}$，（t≥0），則：x=t²-1，
那么函數f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x轉化為g（t）=4t-t²+1，（t≥0），
根據二次函數的性質可知：
開口向下，對稱軸t=2．
當t=2時，函數g（t）取得最大值為5．
∴函數g（t）的值域為（-∞，5]，即函數f（x）=4$\sqrt{x+1}$-x的值域（-∞，5]．
故答案為：（-∞，5]．

點評 本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇