Question

1．定義在R上的函數 y=f（x） 對任意的x，y∈R，滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且當x＞0時，f（x）＞2
（1）求f（0）的值；
（2）證明：函數f（x）是R上的單調增函數；
（3）解不等式f（2t²-t-3）-2＜0．

Answer 1

分析 （1）由題意 y=f（x） 對任意的x，y∈R，關系式成立，采用賦值法，可得f（0）的值；
（2）利用定義證明其單調性．
（3）利用單調性及f（0）的值，求解不等式即可．

解答 解：由題意：函數 y=f（x）定義在R上 對任意的x，y∈R滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
∴令x=y0，
由f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
可得：f（0）=f（0）+f（0）-2，
解得：f（0）=2．
故f（0）的值為：2．
（2）證明：設x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，
則x₂-x₁＞0，
由（1）可得f（x₂-x₁）＞2．
因為對任意實數任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞f（x₁）
所以函數f（x）是R上的單調增函數．
（3）解：由（1）（2）可知函數f（x）是R上的單調增函數．且f（0）=2；
不等式f（2t²-t-3）-2＜0，變形得f（2t²-t-3）＜2，轉化為f（2t²-t-3）＜f（0）．
故得：2t²-t-3＜0
解得：$-1＜t＜\frac{3}{2}$，
所以原不等式的解集是（-1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了抽象函數的運用能力和化簡，單調性的證明．屬于中檔題．