Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且n•a_n+1=（n+2）S_n，n∈N^*．
（1）求證：數列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$為等比數列；
（2）求數列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）n•a_n+1=（n+2）S_n，n∈N^*．可得n（S_n+1-S_n）=（n+2）S_n，變形為$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2×$\frac{{S}_{n}}{n}$，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，可得S_n=n•2^n-1．利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵n•a_n+1=（n+2）S_n，n∈N^*．∴n（S_n+1-S_n）=（n+2）S_n，∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=2×$\frac{{S}_{n}}{n}$，
∴數列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$為等比數列，首項為1，公比為2，．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．
∴數列{S_n}的前n項和T_n=1+2×2+3×2ⁿ+…+n•2^n-1．
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了數列的遞推關系、“錯位相減法”、等比數列的定義通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．