Question

2．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，記a=25f（0.2²），b=f（1），c=-log₅3×f（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5），則（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得g（x）在（0，+∞）上單調遞減，分別化簡a，b，c，即可得出結論．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{{x_2}f（{x_1}）-{x_1}f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∵a=25f（0.2²）=g（0.2²），b=f（1）=g（1），c=-log₅3×f（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5）=g（log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5），log${\;}_{\frac{1}{3}}}$5＜0＜0.2²＜1，
∴c＞a＞b．
故選：B．

點評 本題考查大小比較，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，正確構造函數是關鍵．