Question

13．若a＞0，b＞2，且a+b=3，則使得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-2}$取得最小值的實數a=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 構造基本不等式的性質即可求解．利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，
∴a+b-2=1，
那么：（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-2}$）[a+（b-2）]=4+1+（$\frac{4（b-2）}{a}$+$\frac{a}{b-2}$）
≥5+2$\sqrt{\frac{4（b-2）}{a}×\frac{a}{b-2}}$=9，
當且僅當2（b-2）=a時即取等號．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{2（b-2）=a}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了構造不等式的思想，利用“乘1法”與基本不等式的性質，屬于中檔題．