Question

14．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，則向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根據條件即可得出△ABC為等腰三角形，其中AB=AC，∠ACB=30°，這樣便可求出向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影．

解答 解：根據條件$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}$，O為△ABC的外心；
∴AO⊥BC，且AO平分BC，如圖所示，則：
AB=AC；
$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OB}|=1$；
∴△ABO為等邊三角形，∠BAO=60°；
∴AB=AC=1，∠BAC=120°；
∴∠ACB=30°；
∴$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為$|\overrightarrow{CA}|cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選C．

點評 考查三角形外心的概念，向量加法的平行四邊形法則，向量的數乘運算，相反向量的概念，以及向量投影的定義．