Question

4．已知F₁、F₂是橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$．求△PF₁F₂的面積（　　）

• A． 9
• B． 6
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由橢圓方程求出a，c的值，在焦點三角形中，利用橢圓定義及勾股定理求得|PF₁||PF₂|，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1（a＞b＞0），得a²=16，b²=9，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{7}$．
∵$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$，∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=28$，
即$（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}P{F}_{2}|=28$，
則$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4{a}^{2}-28}{2}=\frac{64-28}{2}=18$．
則${S}_{△P{F}_{1}F2}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×18=9$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓定義及余弦定理在解焦點三角形中的應用，是中檔題．