Question

3．在直角三角形ABC中，角C為直角，且AC=BC=2，點P是斜邊上的一個三等分點，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$=（　　）

• A． 0
• B． 4
• C． $\frac{9}{4}$
• D． -$\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由題意，將所求等式變形，用直角三角形的兩條直角邊對應的向量表示，展開計算即可．

解答 解：直角三角形ABC中，角C為直角，且AC=BC=2，點P是斜邊上的一個三等分點，
則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CP}•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）$
=（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}$）（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$）
=（$\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$）（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$）
=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$）$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$）
=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$
=$\frac{2}{3}×4+\frac{1}{3}×4+0$=4；
故選B．

點評 本題考查了平面向量的運算；關鍵是將所求利用直角三角形的兩條直角邊向量表示，然后進行向量的運算．