Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，有如下命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若a=2，b=5，A=$\frac{π}{6}$，則△ABC有兩組解；
③定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），f（x）在[-5，-4]上為增函數，若A＞B，則f（sinA）＞f（sinB）．
其中正確命題的序號是③．

Answer 1

分析 ①由sin2A=sin2B有2A=2B，或2A+2B=π；②由正弦定理易判斷；③由f（x+2）=-f（x）可知函數周期為4，再由A＞B得sinA＞sinB，得出判斷．

解答 解：
①由sin2A=sin2B，可得2A=2B或2A+2B=π，故A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，所以三角形為等腰或直角三角形，故①錯誤；
②由正弦定理有$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{5×\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{4}＞1$，無解，故②錯誤；
③∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以函數為周期為4的周期函數，由函數在[-5，-4]上為增函數，所以函數在[-1，0]上為增函數，所以在[0，1]上也為增函數，
由A＞B可得sinA＞sinB，
∴f（sinA）＞f（sinB），故③正確．
綜上可得正確的命題為③．
故答案為：③．

點評 本題考查了解三角形以及函數的周期性和單調性．命題③的判斷是本題難點，正確判斷命題中函數的周期性是解題關鍵．屬于中檔題．