Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{6}$cos2x-tcosx．若其導函數f'（x）在R上單調遞增，則實數t的取值范圍為（　　）

• A． $[-1，-\frac{1}{3}]$
• B． $[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]$
• C． [-1，1]
• D． $[-1，\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數f′（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2xt+tsinx在R上單調遞增可轉化為f″（x）=-$\frac{4}{3}$cos²x+tcosx+$\frac{5}{3}$≥0，在R上恒成立，利用分離參數法即可求解．

解答 解：f′（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2xt+tsinx在R上單調遞增，
即f″（x）=-$\frac{4}{3}$cos²x+tcosx+$\frac{5}{3}$≥0，在R上恒成立，
令m=cosx，m∈[-1，1]，-$\frac{4}{3}$m²+tm+$\frac{5}{3}$≥0⇒tm≥$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$，
當m=0時，成立；當m∈（0，1]時，t≥$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$，
函數g（m）=$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$在（0，1]上是增函數，
∴t≥g（1）=-$\frac{1}{3}$；當m∈[-1，0）時，t≤$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$，
∵函數g（m）=$\frac{4}{3}$m-$\frac{5}{3m}$在[-1，0（上是增函數，t≤g（-1）=$\frac{1}{3}$，
綜上則實數t的取值范圍為[-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$]．
故選B．

點評 本題考查了三角函數的變形以及由函數單調性的性質求參數的范圍．