Question

7．符號[x]表示不超過x的最大整數，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數{x}=x-[x]，給出下列四個命題：（1）函數{x}的定義域為R，值域為[0，1]；
（2）方程{x}=$\frac{1}{2}$有無數個解；
（3）函數{x}是增函數；
（4）函數{x}具有奇偶性．
其中正確的命題有（2）．

Answer 1

分析 利用[x]的定義，結合函數的定義域，值域奇偶性和單調性的定義分別進行判斷．由奇偶性函數的定義證明此函數為非奇非偶函數，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，周期函數不是單調函數．

解答 解：（1）當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），故（1）錯誤；
（2）當x=$\frac{1}{2}$時，{x}=$\frac{1}{2}$，
又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=$\frac{1}{2}$+k時（k∈Z），{x}=$\frac{1}{2}$，故（2）正確；
（3）∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，故（3）錯誤；
（4）∵函數{x}的定義域為R，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函數{x}是非奇非偶函數，故（4）錯誤．
∴其中正確的命題有：（2）．
故答案為：（2）．

點評 本題考查新定義函數 {x}=x-[x]的意義，通過舉反例來說明某個命題的正確性，是一種簡單有效的方法，是中檔題．