Question

2．已知函數y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，等式f（x）•f（y）=f（x+y）成立，若數列{a_n}滿足f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，（n∈N⁺）且a₁=f（0），則下列結論成立的是（　�。�

• A． a₂₀₁₃＞a₂₀₁₆
• B． a₂₀₁₄＜a₂₀₁₆
• C． a₂₀₁₄＞a₂₀₁₅
• D． a₂₀₁₆＞a₂₀₁₅

Answer 1

分析 先由題意得到f（0）=1=a₁，再根據f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，得到a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，數列{a_n}是以3為周期的周期數列，再求出a₂₀₁₃=a₃=-2，a₂₀₁₄=a₁=1，a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=a₃=-2，即可比較大小

解答 解：∵f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，則f（-1）•f（0）=f（-1），
∵當x＜0時，f（x）＞1，
∴f（-1）≠0，
∴f（0）=1，
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{f（\frac{1}{1+{a}_{n}}）}$，∴f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=1=f（0）
∴f（a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=f（0）=a₁，
∴a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0，
即a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
當n=1時，a₂=-$\frac{1}{2}$，
當n=2時，a₃=-2，
當n=3時，a₄=1，
∴數列{a_n}是以3為周期的周期數列，
∴a₂₀₁₃=a₃=-2，
a₂₀₁₄=a₁=1，
a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，
a₂₀₁₆=a₃=-2，
故選：B．

點評 本題主要考查數列與函數的綜合運用，根據抽象函數的關系結合等差數列的通項公式建立方程是解決本題的關鍵．