Question

5．已知O為△ABC的外心，3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則∠ACB的值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，移項得3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，再平方得：（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）²=（7$\overrightarrow{OC}$）²，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R²，從而∠AOB=$\frac{π}{3}$，最后根據圓心角等于同弧所對的圓周角的兩倍得∠ACB的大小．

解答 解：設外接圓的半徑為R，
∵3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+7$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$=-7$\overrightarrow{OC}$，
∴（3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$）²=（7$\overrightarrow{OC}$）²，
∴34R²+30$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=49R²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$R²，
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∠AOB=$\frac{π}{3}$，
根據圓心角等于同弧所對的圓周角的兩倍得：∠ACB=$\frac{π}{6}$，
故選：A．

點評 本小題主要考查三角形外心的應用、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．