Question

10．已知一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱(chēng)的圖象為C，且f（f（1））=-1，若點(diǎn)$（{n，\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}}）（{n∈{N^*}}）$在曲線C上，并有${a_1}=1，\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}-\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=1（{n≥2}）$．
（1）求f（x）的解析式及曲線C的方程； 
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$，求$\lim_{n→∞}{S_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱(chēng)為C，所以曲線C為：f^-1（x）=$\frac{x}{k}$-$\frac{b}{k}$，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{1}{k}$．由此能夠推導(dǎo)出f（x）的解析式及曲線C的方程．
（2）由f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由$\frac{{a}_{n}}{（n+2）!}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，知${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，由此能夠求出求$\lim_{n→∞}{S_n}$的值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱(chēng)為C，
∴曲線C為：f^-1（x）=$\frac{x}{k}$-$\frac{b}{k}$，
∴f^-1（n）=$\frac{n}{k}$-$\frac{b}{k}$，
f^-1（n-1）=$\frac{n-1}{k}$-$\frac{b}{k}$，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{1}{k}$．
又點(diǎn)（n，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*）在曲線C上，
∴f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$②
f^-1（n-1）=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲線C：y=x+1；
（2）由②f^-1（n）=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n+1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=n（n-1）…3•2=n!，
∵a₁=1，
∴a_n=n!；
（3）∵$\frac{{a}_{n}}{（n+2）!}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴${S_n}=\frac{a_1}{3!}+\frac{a_2}{4!}+\frac{a_3}{5!}+…+\frac{a_n}{{（{n+2}）!}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．
則$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．