Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-a）²+（y-a+2）²=1，點A（0，-3），若圓C上存在點M，滿足|AM|=2|MO|，則實數a的取值范圍是[0，3]．

Answer 1

分析 設點M（x，y），由題意得x²+（y-2）²+x²+y²=10，若圓C上存在點M滿足MA²+MO²=10也就等價于圓E與圓C有公共點，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：設點M（x，y），由題意得點A（0，2），O（0，0）及MA²+MO²=10，
即x²+（y-2）²+x²+y²=10，整理得x²+（y-1）²=4，
即點M在圓E：x²+（y-1）²=4上．
若圓C上存在點M滿足MA²+MO²=10也就等價于圓E與圓C有公共點，
所以|2-1|≤CE≤2+1，
即|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+（a-3）^{2}}$≤2+1，
整理得1≤2a²-6a+9≤9，解得0≤a≤3，
即實數a的取值范圍是[0，3]．
故答案為：[0，3]．

點評 本題若將題目條件“圓C上存在點M滿足MA²+MO²=10”改成“圓C上存在點M滿足MA+MO=10”或改成“圓C上存在點M滿足|MA-MO|=1”，考生多數能想到應該先求出點M滿足的曲線方程再求解，而對于本題的條件“MA²+MO²=10”多數考生是不知道或不敢走求點M滿足的曲線方程的這條路，最終導致思路中斷而失分，這也就提醒考生在復習備考的過程中要加大創新思維能力的訓練，如此才能提升數學思維層次，打破解題瓶頸．