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18.設整數n≥9,在集合{1,2,3,…,n} 中任取三個不同元素a,b,c (a>b>c),記f(n)為滿足a+b+c 能被3整除的取法種數.
(1)直接寫出f(9)的值;
(2)求f(n)表達式.

分析 (1)直接列舉即可求出,
(2)當n=3k集合可以分為A={1,4,…,3k-2},B={2,5,…,3k-1},C={3,6,…,3k},分別求出所有的種數,根據分類計數原理可得,同理可得n=3k+1,n=3k+2,問題得以解決.

解答 解:(1)f(9)=12.
(2)①當n=3k,(k≥3k,k∈N*)時,記k=$\frac{n}{3}$,集合為{1,2,3,…,3k-1,3k}.
將其分成三個集合:A={1,4,…,3k-2},B={2,5,…,3k-1},C={3,6,…,3k}.
要使得a+b+c能被3整除,a,b,c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從C取一個,從A中取一個,從B中取一個(此數與A中取的那個數之和能被3整除).故有
3Ck3+Ck1Ck1=$\frac{1}{2}$k(k-1)(k-2)+k2=$\frac{1}{54}$(n3-3n2+18n)種取法;      
②當n=3k+1,k≥3,k∈N*時,記k=$\frac{n-1}{3}$,集合為{1,2,3,…,3k,3k+1}.
將其分成三個集合:A={1,4,…,3k-2,3k+1},B={2,5,…,3k-1},C={3,6,…,3k}.
要使得a+b+c能被3整除,a,b,c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從C取一個,從B中取一個,從A中取一個(此數與B中取的那個數之和能被3整除).故有
2Ck3+Ck+13+Ck1Ck1=$\frac{1}{3}$k(k+1)(k-1)+$\frac{1}{6}$k(k-1)(k+1)+k2=$\frac{1}{2}$k(k-1)2+k2=$\frac{1}{54}$(n3-3n2+12n-10)種取法;                                                      
③當n=3k+2,k≥3,k∈N*時,記k=$\frac{n-2}{3}$,集合為{1,2,3,…,3k+1,3k+2}..
將其分成三個集合:A={1,4,…,3k-2,3k+1},B={2,5,…,3k-1,3k+2},C={3,6,…,3k}.要使得a+b+c能被3整除,a,b,c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從CC取一個,從B中取一個,從A中取一個(此數與B中取的那個數之和能被3整除).故有Ck3+2Ck+13+Ck1Ck+11=$\frac{1}{3}$k(k+1)(k-1)+$\frac{1}{6}$k(k-1)(k-2)+k(k+1)=$\frac{1}{2}$k(k-1)2+k(k+1)=$\frac{1}{54}$(n3-3n2+18n+32)種取法;                                                             
綜上所述,f(n)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n}{54},n=3k,k≥3,k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+12n-10}{54},n=3k+1,k≥3,k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n+32}{54},n=3k+2,k≥3,k∈N*}\end{array}\right.$

點評 本題考查了分類計數原理以及整除的性質,考查了學生的分類討論的思想,屬于難題

練習冊系列答案
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