Question

18．設整數n≥9，在集合{1，2，3，…，n} 中任取三個不同元素a，b，c （a＞b＞c），記f（n）為滿足a+b+c 能被3整除的取法種數．
（1）直接寫出f（9）的值；
（2）求f（n）表達式．

Answer 1

分析 （1）直接列舉即可求出，
（2）當n=3k集合可以分為A={1，4，…，3k-2}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}，分別求出所有的種數，根據分類計數原理可得，同理可得n=3k+1，n=3k+2，問題得以解決．

解答 解：（1）f（9）=12．
（2）①當n=3k，（k≥3k，k∈N*）時，記k=$\frac{n}{3}$，集合為{1，2，3，…，3k-1，3k}．
將其分成三個集合：A={1，4，…，3k-2}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}．
要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從C取一個，從A中取一個，從B中取一個（此數與A中取的那個數之和能被3整除）．故有
3C_k3+C_k¹C_k¹=$\frac{1}{2}$k（k-1）（k-2）+k²=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+18n）種取法；      
②當n=3k+1，k≥3，k∈N^*時，記k=$\frac{n-1}{3}$，集合為{1，2，3，…，3k，3k+1}．
將其分成三個集合：A={1，4，…，3k-2，3k+1}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}．
要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從C取一個，從B中取一個，從A中取一個（此數與B中取的那個數之和能被3整除）．故有
2C_k³+C_k+1³+C_k¹C_k¹=$\frac{1}{3}$k（k+1）（k-1）+$\frac{1}{6}$k（k-1）（k+1）+k²=$\frac{1}{2}$k（k-1）²+k²=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+12n-10）種取法；                                                      
③當n=3k+2，k≥3，k∈N^*時，記k=$\frac{n-2}{3}$，集合為{1，2，3，…，3k+1，3k+2}．．
將其分成三個集合：A={1，4，…，3k-2，3k+1}，B={2，5，…，3k-1，3k+2}，C={3，6，…，3k}．要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以從A取三個或從B取三個或從C取三個或從CC取一個，從B中取一個，從A中取一個（此數與B中取的那個數之和能被3整除）．故有C_k³+2C_k+1³+C_k¹C_k+1¹=$\frac{1}{3}$k（k+1）（k-1）+$\frac{1}{6}$k（k-1）（k-2）+k（k+1）=$\frac{1}{2}$k（k-1）²+k（k+1）=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+18n+32）種取法；                                                             
綜上所述，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n}{54}，n=3k，k≥3，k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+12n-10}{54}，n=3k+1，k≥3，k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n+32}{54}，n=3k+2，k≥3，k∈N*}\end{array}\right.$

點評 本題考查了分類計數原理以及整除的性質，考查了學生的分類討論的思想，屬于難題